3.661 \(\int \sqrt [3]{x} (a+b x)^2 \, dx\)
Optimal. Leaf size=36 \[ \frac{3}{4} a^2 x^{4/3}+\frac{6}{7} a b x^{7/3}+\frac{3}{10} b^2 x^{10/3} \]
[Out]
(3*a^2*x^(4/3))/4 + (6*a*b*x^(7/3))/7 + (3*b^2*x^(10/3))/10
________________________________________________________________________________________
Rubi [A] time = 0.0069011, antiderivative size = 36, normalized size of antiderivative = 1.,
number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 13, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.077, Rules used =
{43} \[ \frac{3}{4} a^2 x^{4/3}+\frac{6}{7} a b x^{7/3}+\frac{3}{10} b^2 x^{10/3} \]
Antiderivative was successfully verified.
[In]
Int[x^(1/3)*(a + b*x)^2,x]
[Out]
(3*a^2*x^(4/3))/4 + (6*a*b*x^(7/3))/7 + (3*b^2*x^(10/3))/10
Rule 43
Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])
Rubi steps
\begin{align*} \int \sqrt [3]{x} (a+b x)^2 \, dx &=\int \left (a^2 \sqrt [3]{x}+2 a b x^{4/3}+b^2 x^{7/3}\right ) \, dx\\ &=\frac{3}{4} a^2 x^{4/3}+\frac{6}{7} a b x^{7/3}+\frac{3}{10} b^2 x^{10/3}\\ \end{align*}
Mathematica [A] time = 0.007176, size = 28, normalized size = 0.78 \[ \frac{3}{140} x^{4/3} \left (35 a^2+40 a b x+14 b^2 x^2\right ) \]
Antiderivative was successfully verified.
[In]
Integrate[x^(1/3)*(a + b*x)^2,x]
[Out]
(3*x^(4/3)*(35*a^2 + 40*a*b*x + 14*b^2*x^2))/140
________________________________________________________________________________________
Maple [A] time = 0.004, size = 25, normalized size = 0.7 \begin{align*}{\frac{42\,{b}^{2}{x}^{2}+120\,abx+105\,{a}^{2}}{140}{x}^{{\frac{4}{3}}}} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
int(x^(1/3)*(b*x+a)^2,x)
[Out]
3/140*x^(4/3)*(14*b^2*x^2+40*a*b*x+35*a^2)
________________________________________________________________________________________
Maxima [A] time = 0.995491, size = 32, normalized size = 0.89 \begin{align*} \frac{3}{10} \, b^{2} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{7} \, a b x^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{4} \, a^{2} x^{\frac{4}{3}} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x^(1/3)*(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")
[Out]
3/10*b^2*x^(10/3) + 6/7*a*b*x^(7/3) + 3/4*a^2*x^(4/3)
________________________________________________________________________________________
Fricas [A] time = 1.54584, size = 70, normalized size = 1.94 \begin{align*} \frac{3}{140} \,{\left (14 \, b^{2} x^{3} + 40 \, a b x^{2} + 35 \, a^{2} x\right )} x^{\frac{1}{3}} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x^(1/3)*(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")
[Out]
3/140*(14*b^2*x^3 + 40*a*b*x^2 + 35*a^2*x)*x^(1/3)
________________________________________________________________________________________
Sympy [C] time = 2.69543, size = 2635, normalized size = 73.19 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x**(1/3)*(b*x+a)**2,x)
[Out]
Piecewise((27*a**(34/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/3)*exp(2*I*pi/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7
*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b +
x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 27*a**(34/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi
/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) - 72*a**(
31/3)*b*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7
/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*
exp(2*I*pi/3)) - 81*a**(31/3)*b*(a/b + x)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(
2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 6
0*a**(28/3)*b**2*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 42
0*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(
a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 81*a**(28/3)*b**2*(a/b + x)**2/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7
/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*
exp(2*I*pi/3)) - 60*a**(25/3)*b**3*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*
exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 14
0*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) - 27*a**(25/3)*b**3*(a/b + x)**3/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3
) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(1
3/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 135*a**(22/3)*b**4*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**4*exp(2*I*pi/3)/(
-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2
*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) - 132*a**(19/3)*b**5*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/
3)*(a/b + x)**5*exp(2*I*pi/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) -
420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 42*a**(16/3)*
b**6*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**6*exp(2*I*pi/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7
/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*
exp(2*I*pi/3)), Abs(b*(a/b + x))/Abs(a) > 1), (-27*a**(34/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*ex
p(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*
a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 27*a**(34/3)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3
)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*ex
p(2*I*pi/3)) + 72*a**(31/3)*b*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**
7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b +
x)**3*exp(2*I*pi/3)) - 81*a**(31/3)*b*(a/b + x)/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b +
x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/
3)) - 60*a**(28/3)*b**2*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**2/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b
**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)
**3*exp(2*I*pi/3)) + 81*a**(28/3)*b**2*(a/b + x)**2/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b
+ x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*
pi/3)) + 60*a**(25/3)*b**3*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**3/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**
7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b +
x)**3*exp(2*I*pi/3)) - 27*a**(25/3)*b**3*(a/b + x)**3/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(
a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2
*I*pi/3)) - 135*a**(22/3)*b**4*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**4/(-140*a**8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420
*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a
/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) + 132*a**(19/3)*b**5*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**5/(-140*a**8*b**(4/3)*exp
(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3) + 140*a
**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)) - 42*a**(16/3)*b**6*(1 - b*(a/b + x)/a)**(1/3)*(a/b + x)**6/(-140*a*
*8*b**(4/3)*exp(2*I*pi/3) + 420*a**7*b**(7/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3) - 420*a**6*b**(10/3)*(a/b + x)**2*exp(2*
I*pi/3) + 140*a**5*b**(13/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)), True))
________________________________________________________________________________________
Giac [A] time = 1.0448, size = 32, normalized size = 0.89 \begin{align*} \frac{3}{10} \, b^{2} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{7} \, a b x^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{4} \, a^{2} x^{\frac{4}{3}} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x^(1/3)*(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")
[Out]
3/10*b^2*x^(10/3) + 6/7*a*b*x^(7/3) + 3/4*a^2*x^(4/3)